Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цель: повысить мотивацию к обучению; развивать вычислительные навыки, сообразительность, умение работать в команде.

Ход занятия

Актуализация знаний. Сегодня мы продолжим говорить об окружности. Позвольте напомнить определение окружности: что называется окружностью?

Окружность - это линия, состоящая из всех точек плоскости, которые находятся на заданном расстоянии от одной точки плоскости, называемой центром окружности.

На слайде изображена окружность, отмечен ее центр - точка О, проведены два отрезка: ОА и СВ. Отрезок ОА соединяет центр окружности с точкой на окружности. Он называется РАДИУСОМ (по-латыни radius - “спица в колесе”). Отрезок СВ соединяет две точки окружности и проходит через ее центр. Это диаметр окружности (в переводе с греческого – “поперечник”).

Также нам понадобится определение хорды окружности - это отрезок, соединяющий две точки окружности (на рисунке – хорда DE).

Давайте выясним вопрос о взаимном расположении прямой и окружности.

Следующий вопрос и он будет основным: выяснить свойства, которыми обладают пересекающиеся хорды, секущие и касательные.

Доказывать эти свойства вы будете на уроках математики, а наша задача научиться применять эти свойства при решении задач, так как они находят широкое применение на экзаменах и в форме ЕГЭ, и в форме ГИА.

Задание для команд.

• Изобразить и записать свойство пересекающихся в точке Р хорд КМ и NF.
• Изобразить и записать свойство касательной КМ и секущей КF.
• Изобразить и записать свойство секущих КМ и МF.

Используя данные на рисунке, найдите х. Слайд 5–6

Кто быстрее, правильней. С последующим обсуждением и проверкой решения всех задач. Отвечающие зарабатывают для своей команды поощрительные баллы.

Ну, а теперь приступим к решению более серьезных задач. Вашему вниманию предлагается три блока: пересекающиеся хорды, касательная и секущая, две секущие. Подробным образом разберем решение по одной задачи из каждого блока.

(Разбирается решение с подробной записью №4, №7, №12)

2. Практикум по решению задач

а) Пересекающиеся хорды

1. E – точка пересечения хорд AB и CD. AE=4, AB=10, СE:ED=1:6. Найти CD.

Решение:

2. E – точка пересечения хорд AB и CD. AB=17, CD=18, ED=2CE. Найти AE и BE.

Решение:

3. E – точка пересечения хорд AB и CD. AB=10, CD=11, BE=CE+1. Найти CE.

Решение:

4. E – точка пересечения хорд AB и CD. ED=2AE, CE=DE-1, BE=10. Найти CD.

Решение:

б) Касательная и секущая

5. Из одной точки проведены к окружности касательная и секущая. Касательная равна 6, секущая – 18. Определить внутренний отрезок секущей.

Решение:

6. Из одной точки проведены к окружности касательная и секущая. Найти касательную, если известно, что она меньше внутреннего отрезка секущей на 4 и больше внешнего отрезка на 4.

Решение:

7. Из одной точки проведены к окружности касательная и секущая. Найти секущую, если известно, что внутренний её отрезок относится к внешнему, как 3:1, а длина касательной равна 12.

Решение:

8. Из одной точки проведены к окружности касательная и секущая. Найти внешний отрезок, секущей, если известно, что внутренний её отрезок 12, а длина касательной 8.

Решение:

9. Касательная и секущая, исходящие из одной точки, соответственно равны 12 и 24. Определить радиус окружности, если секущая удалена от центра на 12.

Решение:

в) Две секущие

10. Из одной точки проведены к окружности две секущие, внутренние отрезки которых соответственно равны 8 и 16. Внешний отрезок второй секущей на 1 меньше внешнего отрезка первой. Найти длину каждой секущей.

Решение:

11. Из одной точки проведены к окружности две секущие. Внешний отрезок первой секущей относится к своему внутреннему, как 1:3. Внешний отрезок второй секущей на 1 меньше внешнего отрезка первой и относится к своему внутреннему отрезку, как 1:8. Найти длину каждой секущей.

Решение:

12. Через точку А, которая находится вне окружности на расстоянии 7 от её центра, проведен прямая, пересекающая окружность в точках В и С. Найдите длину радиуса окружности, если АВ=3, ВС=5.

Решение:

13. Из точки А проведены к окружности секущая длиной 12 см и касательная, составляющая внутреннего отрезка секущей. Найдите длину касательной.

Решение:

1. 10,5; 17,5
2. 12;18

3. Закрепление знаний

Считаю, что вы обладаете достаточным запасом знаний, чтобы отправится в небольшое путешествие по лабиринтам вашего интеллекта, посетив следующие станции:

• Соображай-ка!
• Решай-ка!
• Отвечай-ка!

На станции можно находиться не более 6 минут. За каждое верное решение задачи команда получает поощрительные баллы.

Командам вручаются маршрутные листы:

Маршрутный лист

Хотелось бы подвести итоги нашего занятия:

Помимо новых знаний надеюсь, вы лучше познакомились друг с другом, приобрели опыт работы в команде. А как вы думаете, полученные знания находят где-то применение в жизни?

Поэт Г. Лонгфелло был еще и математиком. Наверное, поэтому яркие образы, украшающие математические понятия, которые он использовал в своем романе “Каванг”, позволяют запечатлеть на всю жизнь некоторые теоремы и их применение. Читаем в романе следующую задачу:

“Лилия, на одну пядь поднимавшаяся над поверхностью воды, под порывом свежего ветра коснулась поверхности озера в двух локтях от прежнего места; исходя из этого требовалось определить глубину озера” (1 пядь равна 10 дюймам, 2 локтя – 21 дюйму).

А решается эта задача на основе свойства пересекающихся хорд. Посмотрите на рисунок, и станет ясно, как находится глубина озера.

Решение:

§ 11. Пропорциональные отрезки в круге .

1. Ферма моста ограничена дугой окружности (черт. 38); высота фермы MK= h = 3 м; радиус дуги АМВ пролёта R = 8,5 м. Вычислить длину АВ пролёта моста.

2. В сводчатом подвале, имеющем форму полуцилиндра, надо поставить две стойки, каждую на одинаковом расстоянии от ближайшей стены. Определить высоту стоек, если ширина подвала по низу равна 4 м, а расстояние между стойками 2 м.

3. 1) Из точки окружности проведён перпендикуляр на диаметр. Определить его длину при следующей длине отрезков диаметра: 1) 12 см и3 см; 2) 16см и 9 см, 3)2 м и 5 дм.

2) Из точки диаметра проведён перпендикуляр до пересечения с окружностью. Определить длину этого перпендикуляра, если диаметр равен 40 см, а проведённый перпендикуляр отстоит от одного из концов диаметра на 8 см.

4. Диаметр разделён на отрезки: АС= 8 дм и СВ=5 м, и из точки С проведён к нему перпендикуляр CD данной длины. Указать положение точки D относительно круга, когда CD равняется: 1) 15 дм; 2) 2 м; 3) 23 дм.

5. АСВ-полуокружность; CD - перпендикуляр на диаметр АВ. Требуется:

1) определить DB, если AD = 25 и CD =10;

2) определить АВ, если AD: DB= 4: 9 и CD=30;

3) определить AD, если CD=3AD, а радиус равен r ;

4) определить AD, если AВ=50 и CD= 15.

6. 1) Перпендикуляр, опущенный из точки окружности на радиус, равный 34 см, делит его в отношении 8:9 (начиная от центра). Определить длину перпендикуляра.

2) Хорда BDC перпендикулярна к радиусу ODA. Определить ВС, если ОA = 25 см и AD=10 см.

3) Ширина кольца, образованного двумя концентрическими окружностями, равна 8 дм; хорда большей окружности, касательная к меньшей, равна 4 м. Определить радиусы окружностей.

7. С помощью сравнения отрезков доказать, что среднее арифметическое двух неравных чисел больше их среднего геометрического.

8. Построить отрезок, средний пропорциональный между отрезками 3 см и 5 см.

9. Построить отрезок, равный: √15 ; √10 ; √6 ; √3 .

10. ADB-диаметр; АС-хорда; CD-перпендикуляр к диаметру. Определить хорду АС: 1) если АВ=2 м и AD = 0,5 м; 2) если AD = 4 см и DB = 5 см; 3) если AB=20 м и DB= 15 м.

11. АВ-диаметр; АС-хорда; AD-её проекция на диаметр АВ. Требуется:

1) определить AD, если АB=18 см и АС=12 см;

2) определить радиус, если AС=12 м и AD=4 м;

3) определить DB, если AС=24 см и DB = 7 / 9 AD.

12. АВ-диаметр; АС-хорда; AD-её проекция на диаметр АВ. Требуется:

1) определить АС, если АВ = 35 см и AC=5AD;

2) определить АС, если радиус равен r и AC=DB.

13. Две хорды пересекаются внутри круга. Отрезки одной хорды равны 24 см и 14 см; один из отрезков другой хорды равен 28 см. Определить второй её отрезок.

14. Мостовая ферма ограничена дугой окружности (черт. 38); длина моста АВ= 6 м, высота А =1,2 м. Определить радиус дуги (OM= R).

15. Два отрезка АВ и CD пересекаются в точке М так, что МА =7 см, MB=21 см,
МС = 3 см и MD = 16 см. Лежат ли точки А, В, С и D на одной окружности?

16. Длина маятника MA = l = 1 м (черт. 39), высота подъёма его, при отклонении на угол α, CA = h = 10 см. Найти расстояние ВС точки В от МА (ВС = х ).

17. Для перевода железнодорожного пути шириной b = 1,524 м в месте АВ (черт. 40) сделано закругление; при этом оказалось, ; что BС= а = 42,4 м. Определить радиус закругления OA = R.

18. Хорда АМВ повёрнута около точки М так, что отрезок МА увеличился в 2 1 / 2 раза. Как изменился отрезок MB?

19. 1) Из двух пересекающихся хорд одна разделилась на части в 48 см и 3 см, а другая - пополам. Определить длину второй хорды.

2) Из двух пересекающихся хорд одна разделилась на части в 12 м и 18 м, а другая- в отношении 3:8. Определить длину второй хорды.

20. Из двух пересекающихся хорд первая равна 32 см, а отрезки другой хорды равны
12 см и 16 см. Определить отрезки первой хорды.

21. Секущая ABC повёрнута около внешней точки А так, что внешний её отрезок АВ уменьшился в три раза. Как изменилась длина секущей?

22. Пусть ADB и AЕС-две прямые, пересекающие окружность: первая -в точках D и В, вторая -в точках E и С. Требуется:

1) определить АЕ, если AD = 5 см, DB=15 см и АС=25 см;

2)определитьBD, если АВ = 24 м, АС= 16 м и ЕС=10м;

3) определить АВ и АС, если АВ+АС=50 м, a AD: AE = 3:7.

23. Радиус окружности равен 7 см. Из точки, удалённой от центра на 9 см, проведена секущая так, что она делится окружностью пополам. Определить длину этой секущей.

24. МАВ и MCD-две секущие к одной окружности. Требуется:

1) определить CD, если МВ= 1 м, MD = 15 дм и CD = MA;

2) определить MD, если MA =18 см, АВ=12 см и MC:CD = 5:7;

3) определить АВ, если АВ= МС, МА = 20 и CD= 11.

25. Две хорды продолжены до взаимного пересечения. Определить длину полученных продолжений, если хорды равны а и b , а их продолжения относятся, как т: п .

26. Из одной точки проведены к окружности секущая и касательная. Определить длину касательной, если внешний и внутренний отрезки секущей соответственно выражаются следующими числами: 1) 4 и 5; 2) 2,25 и 1,75; 3) 1 и 2.

27. Касательная равна 20 см, а наибольшая секущая, проведённая из той же точки, равна 50 см. Определить радиус круга.

28. Секущая больше своего внешнего отрезка в 2 1 / 4 раза. Во сколько раз она больше касательной, проведённой из той же точки?

29. Общая хорда двух пересекающихся окружностей продолжена, и из точки, взятой на продолжении, проведены к ним касательные. Доказать, что они равны.

30. На одной стороне угла А отложены один за другим отрезки: AВ=6 см и ВС =8 см; а на другой стороне отложен отрезок AD = 10 см. Через точки В, С и D проведена окружность. Узнать, касается ли этой окружности прямая AD, а если нет, то будет ли точка D первой (считая от A) или второй точкой пересечения.

31. Пусть будет: АВ-касательная и ACD-секущая той же окружности. Требуется:

1) определить CD, если АВ = 2 см и AD = 4 см;

2) определить AD, если AC:CD = 4:5 и АВ=12 см;

3) определить АВ, если AB = CD и АС = а .

32. 1) Как далеко видно с воздушного шара (черт. 41), поднявшегося на высоту 4 км над землёй (радиус земли равен = 6370 км)?

2) Гора Эльбрус (на Кавказе) поднимается над уровнем моря на 5 600 м. Как далеко можно видеть с вершины этой горы?

3) М - наблюдательный пункт высотой А метров над землёй (черт. 42); радиус земли R, МТ= d есть наибольшее видимое расстояние. Доказать, что d = √2Rh + h 2

Замечание. Так как h 2 вследствие своей малости сравнительно с 2Rh на результат почти не влияет, то можно пользоваться приближённой формулой d ≈ √2Rh .

33. 1) Касательная и секущая, выходящие из одной точки, соответственно равны 20 см и 40 см; секущая удалена от центра на 8 см. Определить радиус круга.

2) Определить расстояние от центра до той точки, из которой выходят касательная и секущая, если они соответственно равны 4 см и 8 см, а секущая удалена от центра на
12 см.

34. 1) Из общей точки проведены к окружности касательная и секущая. Определить длину касательной, если она на 5 см больше внешнего отрезка секущей и на столько же меньше внутреннего отрезка.

2) Из одной точки проведены к окружности секущая и касательная. Секущая равна а , а её внутренний отрезок больше внешнего отрезка на длину касательной. Определить касательную.

36. Из одной точки проведены к одной окружности касательная и секущая. Касательная больше внутреннего и внешнего отрезков секущей соответственно на 2 см и 4 см. Определить длину секущей.

36. Из одной точки проведены к окружности касательная и секущая. Определить их длину, если касательная на 20 см меньше внутреннего отрезка секущей и на 8 см больше внешнего отрезка.

37. 1) Из одной точки проведены к окружности секущая и касательная. Сумма их равна 30 см, а внутренний отрезок секущей на 2 см меньше касательной. Определить секущую и касательную.

2) Из одной точки проведены к окружности секущая и касательная. Сумма их равна 15 см, а внешний отрезок секущей на 2 см меньше касательной. Определить секущую и касательную.

38. Отрезок АВ продолжен на расстояние ВС. На АВ и АС, как на диаметрах, построены окружности. К отрезку АС в точке В проведён перпендикуляр BD до пересечения с большей окружностью. Из точки С проведена касательная СК к меньшей окружности. Доказать, что CD = СК.

39. К данной окружности проведены две параллельные касательные и третья касательная, пересекающая их. Радиус есть средняя пропорциональная между отрезками третьей касательной. Доказать.

40. Даны две параллельные прямые на расстоянии 15 дм одна от другой; между ними дана точка М на расстоянии 3 дм от одной из них. Через точку М проведена окружность, касательная к обеим параллелям. Определить расстояние между проекциями центра и точки М на одну из данных параллелей.

41. В круг радиуса r вписан равнобедренный треугольник, у которого сумма высоты и основания равна диаметру круга. Определить высоту.

42. Определить радиус круга, описанного около равнобедренного треугольника: 1) если основание равно 16 см, а высота 4 см; 2) если боковая сторона равна 12 дм, а высота 9 дм; 3) если боковая сторона равна 15 м, а основание 18 м.

43. В равнобедренном треугольнике основание равно 48 дм, а боковая сторона равна 30 дм. Определить радиусы кругов, описанного и вписанного, и расстояние между их центрами.

44. Радиус равен r , хорда данной дуги равна а . Определить хорду удвоенной дуги.

45. Радиус окружности равен 8 дм; хорда АВ равна 12 дм. Через точку А проведена касательная, а из точки В-хорда ВС, параллельная касательной. Определить расстояние между касательной и хордой ВС.

46. Точка А удалена от прямой MN на расстояние с . Данным радиусом r описана окружность так, что она проходит через точку А и касается линии MN. Определить расстояние между полученной точкой касания и данной точкой А.

Треугольник ABC – прямоугольный (рис. 11), C = 90°, СD перпендикулярна АВ, ВD и DА – проекции катетов ВС и АС на гипотенузу АВ. Теоремы: 1) высота, проведенная из вершины прямого угла на гипотенузу, есть средняя пропорциональная величина между проекциями катетов на гипотенузу, т.е. ; 2) каждый катет – средняя пропорциональная величина между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу, т. е. , .

Теорема Пифагора. Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Теорема. Если через точку, взятую внутри

круга, проведены диаметр и произвольная хорда,

то произведение длин отрезков диаметра рав-

но произведению длин отрезков хорды, т.е. (рис. 12).

Следствие. Произведения длин отрезков пересекающихся хорд равны, т.е.

Теорема. Если из точки вне круга проведены касательная и се-кущая, то произведение всей секущей на ее внешнюю часть равно квадрату касательной, т.е. (рис. 13).

Определения. Синусом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе, косинусом – отношение прилежащего катета к гипотенузе, тангенсом отношение противолежащего катета к прилежащему, котангенсом – отношение прилежащего катета к противолежащему.

Из точки А вне окружности проведены касательная и секущая. Расстояние от А до точки касания 16 см, а от А до одной из точек пересечения секущей с окружностью 32 см. Найдите радиус окружности, если секущая удалена от ее центра на 5 см.

На рис. 14 АВ – касательная к окружности с центром O, AD – се-кущая. OK перпендикулярна DC, АВ = 16 см, АD = 32 см, OК = 5 см. По теореме о касательной и секущей или , АС = 8 см. см. По теореме о хордах, пересекающихся внутри круга, , но DK = KC, так как EP – диаметр, перпендикулярный хорде DС. Получим . Заменим в этом равенстве ЕК на , КР на , DК на 12, получим: OE = 13 см – искомый радиус.

104. Стороны прямоугольника 30 и 40 см. Найдите расстояние

от вершины прямоугольника до диагонали, не проходящей через эту вершину.

105. Периметр ромба равен 1 м. Одна диагональ длиннее другой на

1 дм. Вычислите диагонали ромба.

В круге по разные стороны от центра проведены параллельные хорды длиной 36 и 48 мм, расстояние между ними 42 мм. Вычислите радиус круга.

Катеты прямоугольного треугольника относятся как 5: 6, гипотенуза 122 см. Найдите отрезки гипотенузы, отсекаемые высотой.

Касательная и секущая, проведенные из одной точки к окружности, взаимно перпендикулярны. Касательная равна 12, внутренняя часть секущей равна 10. Найдите радиус окружности.

К окружности с радиусом 7 см проведены две касательные из одной точки, удаленной от центра на 25 см. Найдите расстояние между точками касания.

Ширина кольца, образованного двумя концентрическими окружностями, равна 8 дм, хорда большей окружности, касательная к меньшей, равна 4 м. Найдите радиусы окружностей.

Радиус окружности 7 см. Из точки, удаленной от центра на

9 см, проведена секущая так, что она делится окружностью на равные части. Найдите длину этой секущей.

Касательная к окружности равна 20 см, а наибольшая секущая, проведенная из той же точки, равна 50 см. Найдите радиус.

Из одной точки к окружности проведены касательная и секущая, длина которой а, а её внутренний отрезок больше внешнего на длину касательной. Найдите длину касательной.

В круг радиусом R вписан равнобедренный треугольник, у которого сумма высоты и основания равна диаметру круга. Найдите высоту треугольника.

В равнобедренном треугольнике основание и боковая сторона равны соответственно 48 и 30 дм. Вычислите радиусы кругов, описанного и вписанного, и расстояние между их центрами.

Теорема 111 . 1) Перпендикуляр, опущенный из какой-нибудь точки окружности на диаметр, среднепропорционален между частями диаметра. Этот перпендикуляр называется иногда ординатой.

2) Хорда, соединяющая конец диаметра с точкой окружности, среднепропорциональна между диаметром и отрезком, прилежащем хорде.

Дано. Опустим из какой-нибудь точки C окружности перпендикуляр CD на диаметр AB (черт. 169).

Требуется доказать, что 1) AD/CD = CD/DB, а также 2) AD/AC = AC/AB.

Доказательство . Соединим точку C с концами диаметра AB, тогда при точке C образуется прямой угол ACB, в котором отрезок CD есть перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу.

На основании теоремы 100 имеет место пропорция:

на основании теоремы 101 пропорция:

AD/AC = AC/AB, DB/CB = CB/AB (1)

Следствие . Квадраты хорд относятся как соответствующие отрезки диаметра.

Доказательство . Из пропорции (1) следуют равенства:

AC 2 = AB · AD, CB 2 = AB · BD

откуда по разделении находим:

AC 2 /CB 2 = AD/DB.

Теорема 112 . Части пересекающихся хорд обратно пропорциональны между собой.

Даны две пересекающиеся хорды AB и CD (черт. 170).

Требуется доказать, что

т. е. большая часть первой хорды относится к большей части второй как меньшая часть второй хорды к меньшей части первой .

Доказательство . Соединим точку A с C и B с D, тогда образуются два подобных треугольника ACE и DBE, ибо углы при точке E равны как вертикальные, ∠CAB = ∠CDB как опирающиеся на концы дуги CB, ∠ACD = ∠ABD как опирающиеся на концы дуги AD.

Из подобия треугольников ACE и DBE вытекает пропорция:

BE/DE = CE/AE (a)

Из пропорции (a) вытекает равенство:

BE · AE = DE · CE

показывающее, что произведение отрезков одной равно произведению отрезков другой хорды.

Теорема 113 . Две секущие, проведенные из одной и той же точки вне окружности, обратно пропорциональны внешним своим частям.

Даны две секущие AB и AC, проведенные из точки A (черт 171).

Требуется доказать, что

т. е. первая секущая относится ко второй, как внешняя часть второй относится к внешней части первой секущей.

Доказательство . Соединим точки D с C, а B с E.

Два треугольника ∠ABE и ∠ADC подобны, ибо угол A общий, B = C как опирающиеся на концы одной и той же дуги DE, следовательно и ∠ADC = ∠AEB.

Из подобия треугольников ADC и ABE вытекает пропорция:

AC/AB = AD/AE (ЧТД).

Из этой же пропорции вытекает равенство

AC · AE = AB · AD

показывающее, что произведение секущей на ее внешний отрезок равно произведению другой секущей на ее отрезок (если секущие выходят из одной точки).

Теорема 114 . Касательная среднепропорциональна между целой секущей и внешней ее частью.

Дана касательная AB и секущая BC (черт. 172).

Требуется доказать, что

Доказательство . Соединим точку A с точками C и D.

Треугольники ABC и ABD подобны, ибо угол B общий, ∠BAD = ∠ACD, следовательно, ∠CAB = ∠ADB.

BC/AB = AB/BD (ЧТД).

Из этой пропорции вытекает равенство:

AB 2 = BC · BD

показывающее, что квадрат касательной равен произведению секущей на внешнюю ее часть .

Свойство сторон вписанного четырехугольника

Теорема 115 . Во всяком четырехугольнике, вписанном в круг, произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон.

Это предположение, известное под именем теоремы Птоломея, встречается в первый раз в сочинении Птоломея «Альагест» во II веке по Р. Х.

Дан вписанный четырехугольник ABCD (черт. 173) и проведены диагонали AC и BD.

Требуется доказать, что AC · BD = AB · CD + BC · AD.

Доказательство . Проведем прямую BE так, чтобы угол EBC равнялся углу ABD. Два треугольника ABD и BEC подобны, ибо ∠ABD = ∠CBE по построению, ∠ADB = ∠BCE как опирающиеся на одну и ту же дугу AB, следовательно,

Из подобия этих треугольников вытекает пропорция:

BC/BD = EC/AD (a)

Треугольники ABE и BCD подобны, ибо ∠ABE = ∠DBC по построению, ∠BAE = ∠BDC как опирающиеся на дугу BC, следовательно,

∠BEA = ∠BCD.

Из подобия этих треугольников вытекает пропорция:

AB/BD = AE/CD (b)

Из пропорций (a) и (b) вытекают равенства:

BC · AD = BD · EC
AB · CD = BD · AE

Сложив эти равенства, имеем:

BC · AD + AB · CD = BD · EC + BD · AE = BD (EC + AE)

Так как EC + AE = AC, то

BD · AC = BC · AD + AB · CD (ЧТД).

Теорема 116 . Во всяком вписанном четырехугольнике диагонали относятся как суммы произведений сторон, опирающихся на концы диагоналей.

Дан вписанный четырехугольник ABCD (черт. 174) и проведены диагонали AC и BD.

Требуется доказать, что

BD/AC = (AD · DC + AB · BC) / (BC · CD + AD · AB)

Доказательство . а) От точки B отложим дугу BE равную DC и соединим точку E с точками A, B, D.

Для вписанного четырехугольника ABED имеет место равенство:

AE · BD = AD · BE + AB · DE.

Так как BE = CD по построению, DE = BC, ибо ◡DE = ◡DC + ◡CE и ◡BC = ◡BE + ◡CE.

Заменив BE и DE их величинами, имеем равенство:

AE · BD = AD · CD + AB · BC (a)

b) Отложив от точки A дугу AF равную дуге BC и соединив точку F с точками A, D, C, имеем для четырехугольника AFCD равенство:

AC · DF = AF · CD + AD · CF

В этом равенстве AF = BC по построению, CF = AB (ибо ◡CF = ◡BC + ◡BF и ◡AB = ◡AF + ◡BF = ◡BC + ◡BF)

Заменяя величины AF и CF их величинами, найдем равенство:

AC · DF = BC · CD + AD · AB (b)

В равенствах (a) и (b) отрезки AE и DF равны, ибо

◡ADE = AD + DE = ◡AD + ◡BC = ◡AD + ◡AF = ◡DAF

Разделяя равенства (a) и (b), находим:

BC/AD = (AD · C D + AB · BC) / (BC · CD + AD · AB) (ЧТД).

Математика. Алгебра. Геометрия. Тригонометрия

ГЕОМЕТРИЯ: Планиметрия

10. Теоремы о пропорциональных линиях

Доказательство. Требуется доказать следующие три пропорции: 1) BD:AD=AD:DC, 2) BC:AB=AB:DB, 3) BC:AC=AC:DC.

1) Треугольники ABD и ADC подобны, так как

Copyright © 2005-2013 Xenoid v2.0

Использование материалов сайта возможно при условии указания активной ссылки